حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

خطوة 1

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $j$ تساوي $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 2.2.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أضف $30$ و $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $30$ في $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \cdot 930$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $3$ في $930$ .

$2790$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج $- \frac{4}{3}$ من المجموع.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

خطوة 2.3.2

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 2.3.3

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أضف $30$ و $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

خطوة 2.3.4.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.2.1

اضرب $30$ في $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

خطوة 2.3.4.1.2.2

اضرب $2$ في $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

خطوة 2.3.4.1.3

أضف $60$ و $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $930$ في $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

خطوة 2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

خطوة 2.3.4.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

خطوة 2.3.4.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.4.2.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.4.2.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

خطوة 2.3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

خطوة 2.3.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

خطوة 2.3.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

خطوة 2.3.4.2.4

اجمع $- 2$ و $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

خطوة 2.3.4.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.5.1

اضرب $- 2$ في $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

خطوة 2.3.4.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{37820}{3}$

خطوة 2.4

أضف نتائج المجاميع.

$2790 - \frac{37820}{3}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لكتابة $2790$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

خطوة 2.5.2

اجمع $2790$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

خطوة 2.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

خطوة 2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اضرب $2790$ في $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

خطوة 2.5.4.2

اطرح $37820$ من $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

خطوة 2.5.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{29450}{3}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $6$ في $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

خطوة 3.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

خطوة 3.2.2

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

خطوة 3.2.3

اجمع $6$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

خطوة 3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

خطوة 3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

خطوة 3.2.5.2

اطرح $4$ من $18$ .

$\frac{14}{3}$

خطوة 4

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

خطوة 5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $14$ من $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

خطوة 5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{29464}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{29464}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 9821.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$- 9821 \frac{1}{3}$