حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(9 x + 4)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 9 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x + 4$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.4

اضرب $9$ في $1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + 0)$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $9$ و $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \cdot 9$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $9$ في $4$ .

$f' (x) = 36 {(9 x + 4)}^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 {(9 x + 4)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 9 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x + 4$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$36 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x + 4$ .

$36 (3 {(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $3$ في $36$ .

$108 ({(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.5

اضرب $9$ في $1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + 0)$

خطوة 2.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $9$ و $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} \cdot 9$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $9$ في $108$ .

$f'' (x) = 972 {(9 x + 4)}^{2}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${(9 x + 4)}^{2}$ بالصيغة $(9 x + 4) (9 x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [972 ((9 x + 4) (9 x + 4))]$

خطوة 3.2

وسّع $(9 x + 4) (9 x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x + 4) + 4 (9 x + 4))]$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x + 4))]$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $9$ في $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $4$ في $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $9$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 4 \cdot 4)]$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 16)]$

خطوة 3.3.2

أضف $36 x$ و $36 x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 72 x + 16)]$

خطوة 3.4

بما أن $972$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $972 (81 x^{2} + 72 x + 16)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$ .

$972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $81 x^{2} + 72 x + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$972 (\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.6

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $81 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$972 (81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$972 (81 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.8

اضرب $2$ في $81$ .

$972 (162 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.9

بما أن $72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $72 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 (162 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$972 (162 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.11

اضرب $72$ في $1$ .

$972 (162 x + 72 + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 3.12

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$972 (162 x + 72 + 0)$

خطوة 3.13

أضف $162 x + 72$ و $0$ .

$972 (162 x + 72)$

خطوة 3.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$972 (162 x) + 972 \cdot 72$

خطوة 3.14.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.2.1

اضرب $162$ في $972$ .

$157464 x + 972 \cdot 72$

خطوة 3.14.2.2

اضرب $972$ في $72$ .

$f''' (x) = 157464 x + 69984$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $157464 x + 69984$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$ .

$\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [157464 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $157464$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $157464 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $157464 \frac{d}{d x} [x]$ .

$157464 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [69984]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$157464 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [69984]$

خطوة 4.2.3

اضرب $157464$ في $1$ .

$157464 + \frac{d}{d x} [69984]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $69984$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $69984$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$157464 + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $157464$ و $0$ .

$f^{4} (x) = 157464$