حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 - \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 3.5

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $0$ و $2 \sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (2 x)$