حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ .

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ هو $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ حيث $f (v) = \sin (v^{2})$ و $g (v) = \cos (6 v)$ .

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ هو $f' (g (v)) g' (v)$ حيث $f (v) = \cos (v)$ و $g (v) = 6 v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $6 v$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 4.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 4.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ هو $f' (g (v)) g' (v)$ حيث $f (v) = \sin (v)$ و $g (v) = v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

خطوة 5.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$