حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y z = \ln (x + z)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y z$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$z y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + z$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

خطوة 3.2.3

بما أن $z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $z$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $\frac{1}{x + z}$ في $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $z y' = \frac{1}{x + z}$ على $z$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $z y' = \frac{1}{x + z}$ على $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

خطوة 5.3.2

اضرب $\frac{1}{x + z}$ في $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

خطوة 5.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$