حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (5 x - 4) (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x - 4$ و $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 1] + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} - x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(5 x - 4) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $5$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.9

أضف $15 x^{2} - 2 x$ و $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.11

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.13

اضرب $5$ في $1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.14

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + 0)$

خطوة 2.15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

أضف $5$ و $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 5$

خطوة 2.15.2

انقُل $5$ إلى يسار $5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 \cdot (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(5 x - 4) (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $15$ في $5$ .

$75 x \cdot x^{2} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$75 (x^{2} x) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$75 (x^{2} x^{1}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$75 x^{2 + 1} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$75 x^{3} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.3

اضرب $15$ في $- 4$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.4

اضرب $- 2$ في $5$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x \cdot x - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x^{1}) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{1 + 1} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.9

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.10

اطرح $10 x^{2}$ من $- 60 x^{2}$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.11

اضرب $5$ في $5$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.12

اضرب $- 1$ في $5$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5 \cdot 1$

خطوة 3.5.13

اضرب $5$ في $1$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5$

خطوة 3.5.14

أضف $75 x^{3}$ و $25 x^{3}$ .

$100 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x - 5 x^{2} + 5$

خطوة 3.5.15

اطرح $5 x^{2}$ من $- 70 x^{2}$ .

$100 x^{3} - 75 x^{2} + 8 x + 5$