حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 8$ و $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.9.2

اضرب $x^{2} + 8$ في $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $x^{2} + 8$ في $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أضف $- 2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $16 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $- (x^{2} - 16 x - 8)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$