حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (1 + e^{2 x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

اجمع $2$ و $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \cdot 1$

خطوة 4.5

اضرب $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ في $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$