حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3 x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $x^{3 x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{3 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 x})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln (x^{3 x})$ بنقل $3 x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (x)}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x \ln (x)$ .

$e^{3 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

خطوة 3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x \ln (x)} (3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 3.6.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x)))$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{3 x \ln (x)} (3 \cdot 1 + 3 \ln (x))$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{3 x \ln (x)} (3 \cdot 1) + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

خطوة 3.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{3 x \ln (x)} \cdot 3 + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

خطوة 3.7.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x \ln (x)}$ .

$3 e^{3 x \ln (x)} + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

خطوة 3.7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$