حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x + y}{x - y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + y$ و $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.1

وسّع $(x - y) (1 + y')$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.3

وسّع $(- x - y) (1 - y')$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4.2

اضرب $- x (- y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4.4

اضرب $- y (- y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.4.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.1.4.4.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.2.2

أضف $x y' - y - y y'$ و $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.2.3

أضف $- y y'$ و $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.2.4

أضف $x y' - y + x y' - y$ و $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.3

أضف $x y'$ و $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.2.4

اطرح $y$ من $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x y' - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 3.8.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

خطوة 5.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

خطوة 5.2.1.3.2

انقُل $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اطرح $2 y' x$ من كلا المتعادلين.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أعِد كتابة ${(x - y)}^{2}$ بالصيغة $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2

وسّع $(x - y) (x - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.4

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.1.4.1

انقُل $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.2

اطرح $y x$ من $- x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.2.1

انقُل $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.2.2

اطرح $x y$ من $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

خطوة 5.3.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

خطوة 5.3.2.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

خطوة 5.3.2.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ على $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ على $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$