حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $2 y y'$ و $0$ .

$2 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

خطوة 5.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

خطوة 5.1.3

اضرب $1 + y'$ في $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.2

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.3.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.3

لكتابة $- 2 y y'$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.4

اجمع $- 2 y y'$ و $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.3

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.3.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.3.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.2.6.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

خطوة 5.3

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

خطوة 5.4.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

خطوة 5.4.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

خطوة 5.4.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

خطوة 5.4.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

خطوة 5.4.2.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

خطوة 5.4.2.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

خطوة 5.4.2.8

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

خطوة 5.4.2.9

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

خطوة 5.4.3

اقسِم كل حد في $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ على $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ على $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

خطوة 5.4.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

خطوة 5.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$