حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = (x - 7) (x^{2} + 4 x)$ و $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 7$ و $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \cdot 1) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.5

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.8

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + 0)) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \cdot 1) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.9.2

اضرب $x^{2} + 4 x$ في $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 3.4.11

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 3.4.11.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 3.4.11.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 3.4.11.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $x$ من $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

خطوة 3.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

وسّع $(x - 7) (2 x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.1.5

اضرب $- 7$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.2.2

اطرح $14 x$ من $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.3

اضرب $- 3$ في $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.5

وسّع $(- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x (1 + \frac{4}{x}) + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.6.1.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.6.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot 4 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.4

اضرب $21$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.5

اضرب $21 \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.6.1.5.1

اجمع $21$ و $\frac{4}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{21 \cdot 4}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.1.5.2

اضرب $21$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.6.2

أضف $- 12$ و $21$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 9 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x \cdot x + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.8.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 (x \cdot x) + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.1.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.2

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.3.1

اطرح $3 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 0 + 9 x + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.3.2

أضف $- 10 x - 28 + 4 x$ و $0$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 9 x + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.4

أضف $- 10 x$ و $4 x$ .

$\frac{- 6 x - 28 + 9 x + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.5

أضف $- 6 x$ و $9 x$ .

$\frac{3 x - 28 + 84}{x^{3}}$

خطوة 3.8.3.6

أضف $- 28$ و $84$ .

$\frac{3 x + 56}{x^{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$