حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (\sqrt{6 t + 12})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 t + 12}$ في صورة ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 6 t + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

خطوة 4.7.4

اجمع $\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 t + 12$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12])$

خطوة 4.9

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $6 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [12])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [12])$

خطوة 4.11

اضرب $6$ في $1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [12])$

خطوة 4.12

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

خطوة 4.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أضف $6$ و $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

خطوة 4.13.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13.3

اجمع $- 6$ و $\frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$