حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = 4 t - 1$ و $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = 2 t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t - 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 3.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 3.3.8

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 3.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 3.3.10

اضرب $4$ في $1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 3.3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

خطوة 3.3.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

أضف $4$ و $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

خطوة 3.3.12.2

انقُل $4$ إلى يسار ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (t - 1)$ .

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $4 t$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.6

اجمع $2$ و $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.8

اجمع $\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ و $t$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.9.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.9.2

اضرب $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ في $1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

خطوة 3.4.2.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

خطوة 3.4.2.12

أخرِج العامل $2$ من $2 t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

خطوة 3.4.2.12.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

خطوة 3.4.2.12.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

خطوة 3.4.2.13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

خطوة 3.4.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

خطوة 3.4.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

خطوة 3.4.2.14

اجمع $2$ و $\frac{1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

خطوة 3.4.3

لكتابة $\frac{2}{t - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(t - 1)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اضرب $\frac{2}{t - 1}$ في $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

ارفع $t - 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.3

ارفع $t - 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 t + 2 (t - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 (- t) + 2 (t - 1)$ .

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.2

أضف $- t$ و $t$ .

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.7

لكتابة $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 {(t - 1)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.8.2

أعِد ترتيب عوامل ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.10.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$