حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.5.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y y'$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y') - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 2 x y y' - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2} - 2 x y$

خطوة 5.1.3

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ على $x^{2} - 2 x y + 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ على $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 5.3.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$