حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

خطوة 2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x y}$ .

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{x}{x y}$ و $y'$ .

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.3.2.4

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $y$ .

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

خطوة 2.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

خطوة 2.3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

خطوة 2.3.2.6

أضف $0$ و $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $e^{x - y} (1 - y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

خطوة 5.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

خطوة 5.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

اضرب $e^{x - y}$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

خطوة 5.1.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

خطوة 5.1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $y' e^{x - y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.2

لكتابة $y' e^{x - y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' + y' e^{x - y} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.4.2

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{x - y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.5

لكتابة $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.6

لكتابة $\frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.7.3

أعِد ترتيب عوامل $y x$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.9.2

اضرب $y'$ في $1$ .

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.2.10

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

خطوة 5.3

اضرب كلا الطرفين في $x y$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

خطوة 5.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط $\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

خطوة 5.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

خطوة 5.4.1.1.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.2.1

انقُل $y$ .

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

خطوة 5.4.1.1.2.2

انقُل $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x - y} (x y)$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x + y' x y e^{x - y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

خطوة 5.5.2.2

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

خطوة 5.5.2.3

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ .

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

خطوة 5.5.3

اقسِم كل حد في $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ على $x (1 + y e^{x - y})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ على $x (1 + y e^{x - y})$ .

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y e^{x - y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x y e^{x - y} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 5.5.3.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$