حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} + 8 x y = 14$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + 8 x y) = \frac{d}{d x} (14)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} + 8 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.2.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [8 x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + 8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 8 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 8 (x y' + y)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y y' + y^{2} + 8 (x y') + 8 y$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x y y' + y^{2} + 8 x y' + 8 y$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y' + 8 x y' + 8 y$

خطوة 3

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $14$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{2} + 2 x y y' + 8 x y' + 8 y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' + 8 x y' + 8 y = - y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $8 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' + 8 x y' = - y^{2} - 8 y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x y y' + 8 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x y y'$ .

$2 x y' y + 8 x y' = - y^{2} - 8 y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $8 x y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' \cdot 4 = - y^{2} - 8 y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x y' y + 2 x y' \cdot 4$ .

$2 x y' (y + 4) = - y^{2} - 8 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x y' (y + 4) = - y^{2} - 8 y$ على $2 x (y + 4)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x y' (y + 4) = - y^{2} - 8 y$ على $2 x (y + 4)$ .

$\frac{2 x y' (y + 4)}{2 x (y + 4)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y' (y + 4)}{2 x (y + 4)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y' (y + 4)}{x (y + 4)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (y + 4)}{x (y + 4)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y + 4)}{y + 4} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y + 4)}{y + 4} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 8 y}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8 y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{2 (- 4 y)}{2 x (y + 4)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (y + 4)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (x (y + 4))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (x (y + 4))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} + \frac{- 4 y}{x (y + 4)}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} - \frac{4 y}{x (y + 4)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 4)} - \frac{4 y}{x (y + 4)}$