حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{2} y - π \cos (y) = 6 π$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} y - π \cos (y)) = \frac{d}{d x} (6 π)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} y - π \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- π \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + 1 π (\sin (y) y')$

خطوة 2.3.5

اضرب $π$ في $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + π \sin (y) y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) + π \sin (y) y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x + π \sin (y) y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$

خطوة 3

بما أن $6 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$ .

$5 x^{2} y' + 10 x y + π y' \sin (y) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $10 x y$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{2} y' + π y' \sin (y) = - 10 x y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $5 x^{2} y' + π y' \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + π y' \sin (y) = - 10 x y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $π y' \sin (y)$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y)) = - 10 x y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y))$ .

$y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ على $5 x^{2} + π \sin (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ على $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$