حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.6.2.2

انقُل ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

خطوة 3.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ .

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.2

اضرب $4 x^{3} + 2 y y'$ في $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.4

أخرِج العامل $2$ من $2 y y'$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 3.9.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 4.2.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

خطوة 4.3.4

اضرب $3$ في $2$ .

$5 + 6 y^{2} y'$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$6 y^{2} y' + 5$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد ترتيب $y$ و $y'$ .

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2

انقُل $y^{2}$ .

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اطرح $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

اطرح $2 x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y' y$ من $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $y' y$ من $y' y$ .

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

خطوة 6.3.3.2

أخرِج العامل $y' y$ من $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $y' y$ من $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

خطوة 6.3.4

اقسِم كل حد في $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ على $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ على $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 6.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 6.3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.4.2.4

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 6.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$