حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sin (y) + y \sin (x) = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (y) + y \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\sin (y)$ في $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $y \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

خطوة 5.2.2

اطرح $\sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ على $x \cos (y) + \sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ على $x \cos (y) + \sin (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x \cos (y) + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (y \cos (x) + \sin (y))$ بالصيغة $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 5.4.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$