حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x y) = 2 x + 5$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 5)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 2$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = 2$

خطوة 5.2

اطرح $y \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

$x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ على $x \cos (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ على $x \cos (x y)$ .

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x y)}$ إلى $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2}{x} \sec (x y) + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

اجمع $\frac{2}{x}$ و $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.3.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$