حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - y$ و $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

خطوة 3.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

خطوة 3.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

خطوة 3.8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

خطوة 3.8.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

خطوة 3.8.6

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.7.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.6

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.7

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.8

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

خطوة 3.8.7.9

أضف $- y y'$ و $y (- y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.7.9.1

أعِد ترتيب $y$ و $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

خطوة 3.8.7.9.2

اطرح $y y'$ من $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

خطوة 3.8.8

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

خطوة 5.2.2

اطرح $2 y y'$ من $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

خطوة 5.3.3

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ على $x - 4 y - x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ على $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4 y - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.8.1

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$