حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = x^{3} y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2})$

خطوة 3.6

انقُل $3$ إلى يسار $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $3 x^{3} y^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2}$

خطوة 5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $- 3 x^{3} y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3})$ .

$3 y^{2} y' (1 - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$3 y^{2} y' (1^{3} - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.5

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.6.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.7

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.2.4.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y^{3} x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

خطوة 5.7.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

خطوة 5.7.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 5.7.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$