حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} - 2 x y + y^{3} = 10$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x y + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 2 (x y') - 2 y + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x - 2 x y' - 2 y + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x - 2 y$

خطوة 3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x - 2 y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' - 2 y = - 2 x$

خطوة 5.1.2

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x + 2 y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y' + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 2 x + 2 y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$ على $- 2 x + 3 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$ على $- 2 x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 x + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x + 2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x) + 2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (y)$ .

$y' = \frac{2 (- x + y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{2 (- (x) + y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$y' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{2 (- (x - y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.6

أعِد كتابة $- (x - y)$ بالصيغة $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x) + 3 y^{2}}$

خطوة 5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x) - (- 3 y^{2})}$

خطوة 5.3.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x - 3 y^{2})}$

خطوة 5.3.3.10

أعِد كتابة $- (2 x - 3 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (2 x - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 1 (2 x - 3 y^{2})}$

خطوة 5.3.3.11

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 1 (2 x - 3 y^{2})}$

خطوة 5.3.3.12

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 (x - y)}{2 x - 3 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x - y)}{2 x - 3 y^{2}}$