حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{7} y + y^{7} x = 4$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{7} y + y^{7} x) = \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{7} y + y^{7} x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{7} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = y$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{7} y' + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$x^{7} y' + y (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

خطوة 2.2.4

انقُل $7$ إلى يسار $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{7}$ و $g (x) = x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} y')$

خطوة 2.3.5

اضرب $y^{7}$ في $1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + x (7 y^{6} y')$

خطوة 2.3.6

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + 7 x y^{6} y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y'$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $y^{7}$ من كلا المتعادلين.

$x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = - y^{7}$

خطوة 5.1.2

اطرح $7 x^{6} y$ من كلا المتعادلين.

$x^{7} y' + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x y'$ من $x^{7} y' + 7 y^{6} x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $x^{7} y'$ .

$x y' x^{6} + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $7 y^{6} x y'$ .

$x y' x^{6} + x y' (7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' x^{6} + x y' (7 y^{6})$ .

$x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ على $x (x^{6} + 7 y^{6})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ على $x (x^{6} + 7 y^{6})$ .

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{6} + 7 y^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{6}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 7 x^{6} y$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (x^{6} + 7 y^{6})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{(x^{6} + 7 y^{6}) x}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x^{6} + 7 y^{6}) x$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{7} - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{7} - 7 x^{5} y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{7}$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 7 x^{5} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.2

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1

انقُل $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x \cdot x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.2.2

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x^{1} x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{1 + 5})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.5.2.3

أضف $1$ و $5$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - (7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{6}) - (7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (y^{6} + 7 x^{6})$ بالصيغة $- 1 (y^{6} + 7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$