حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3} = 79$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (79)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 4 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x - y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.7

اضرب $4$ في $1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $3$ في $2$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 6 y^{2} y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 {(4 x - y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$

خطوة 3

بما أن $79$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $79$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = 0$

خطوة 5.2

اطرح $16 {(4 x - y)}^{3}$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 4 y' {(4 x - y)}^{3}$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2})$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.4

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$2 y' (- 2 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$2 y' (- 2 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(4 x)}^{2} y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.5

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.7

اضرب $16$ في $- 3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.8

اضرب $4$ في $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.9

طبّق قاعدة الضرب على $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.10

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.12

اضرب $12$ في $1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.13

طبّق قاعدة الضرب على $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.5.14

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' (- 2 (64 x^{3}) - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب $64$ في $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.7.2

اضرب $- 48$ في $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.7.3

اضرب $12$ في $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.7.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

احذِف الأقواس.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.8.2

احذِف الأقواس.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

خطوة 5.9

اقسِم كل حد في $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ على $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اقسِم كل حد في $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ على $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ .

$\frac{2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.9.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.9.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16 {(4 x - y)}^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 128 x^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $96 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 24 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $2 y^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.12.1

أعِد كتابة $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

خطوة 5.9.3.12.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.12.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

خطوة 5.9.3.12.4

اضرب $\frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$ في $1$ .

$y' = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$