حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 4 y^{2} = 7 + 3 x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (7 + 3 x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 4 (2 y y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $4$ .

$2 x + 8 y y'$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$8 y y' + 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 + 3 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 x y]$

خطوة 3.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$0 + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$0 + 3 (x y' + y)$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 + 3 (x y') + 3 y$

خطوة 3.3.2

أضف $0$ و $3 x y' + 3 y$ .

$3 x y' + 3 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$8 y y' + 2 x = 3 x y' + 3 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $3 x y'$ من كلا المتعادلين.

$8 y y' + 2 x - 3 x y' = 3 y$

خطوة 5.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$8 y y' - 3 x y' = 3 y - 2 x$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $8 y y' - 3 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $8 y y'$ .

$y' (8 y) - 3 x y' = 3 y - 2 x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 x y'$ .

$y' (8 y) + y' (- 3 x) = 3 y - 2 x$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (8 y) + y' (- 3 x)$ .

$y' (8 y - 3 x) = 3 y - 2 x$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (8 y - 3 x) = 3 y - 2 x$ على $8 y - 3 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (8 y - 3 x) = 3 y - 2 x$ على $8 y - 3 x$ .

$\frac{y' (8 y - 3 x)}{8 y - 3 x} = \frac{3 y}{8 y - 3 x} + \frac{- 2 x}{8 y - 3 x}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8 y - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (8 y - 3 x)}{8 y - 3 x} = \frac{3 y}{8 y - 3 x} + \frac{- 2 x}{8 y - 3 x}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 y}{8 y - 3 x} + \frac{- 2 x}{8 y - 3 x}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 y - 2 x}{8 y - 3 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 x}{8 y - 3 x}$