حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 4 x y + 4 y = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + 4 y) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x y + 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y'$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 4 y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y'$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$4 x y' + 4 y + 4 y' = - 2 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$4 x y' + 4 y' = - 2 x - 4 y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 x y' + 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 x y'$ .

$4 y' x + 4 y' = - 2 x - 4 y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y'$ .

$4 y' x + 4 y' \cdot 1 = - 2 x - 4 y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' x + 4 y' \cdot 1$ .

$4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ على $4 (x + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ على $4 (x + 1)$ .

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{y}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{y}{x + 1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x - y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.9.1

أعِد كتابة $- (x + 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

خطوة 5.3.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$