حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (3 y) = x + y - 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin^{2} (3 y)) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \sin (3 y) \cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب عوامل $6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$ .

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + y' + 0$

خطوة 3.5

أضف $1 + y'$ و $0$ .

$1 + y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y' = 1 + y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$ .

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) = 1 + y'$

خطوة 5.2

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y' = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) - y' = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1 = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ على $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ على $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$