حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} = x^{2} + y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{y} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{y} y' = 2 y y' + 2 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} y'$ .

$y' e^{y} = 2 y y' + 2 x$

خطوة 5.2

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$y' e^{y} - 2 y y' = 2 x$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{y} - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{y}$ .

$y' (e^{y}) - 2 y y' = 2 x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (e^{y}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ على $e^{y} - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ على $e^{y} - 2 y$ .

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$