حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2.5.2

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

خطوة 2.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

خطوة 2.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

خطوة 2.3.6.2

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

خطوة 2.3.7

اجمع $\frac{4}{3}$ و $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

خطوة 2.3.8

اجمع $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ و $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد العامل المشترك $x^{\frac{1}{3}}$ الموجود في كل حد.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $x^{\frac{1}{3}}$ التي تساوي $u$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

خطوة 5.3.2

اطرح $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 5.3.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ على $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

خطوة 5.3.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

خطوة 5.3.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.3.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

خطوة 5.3.4.3.2.4

اقسِم $- y' y^{\frac{1}{3}}$ على $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 5.4

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $y'$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$