حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

خطوة 1

أخرِج عامل $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

خطوة 4

وسّع $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

خطوة 4.2

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

خطوة 4.3

أخرِج السالب.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

خطوة 4.5

أضف $2$ و $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$