حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

{sec}^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$

خطوة 1

أخرِج العامل

sec (x)

$\sec (x)$ من

{sec}^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$ .

\int sec (x) {sec}^{2} (x) d x

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث

u = sec (x)

$u = \sec (x)$ و

d v = {sec}^{2} (x)

$d v = \sec^{2} (x)$ .

sec (x) tan (x) - \int tan (x) (sec (x) tan (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

خطوة 3

ارفع

tan (x)

$\tan (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{1} (x) tan (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

خطوة 4

ارفع

tan (x)

$\tan (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{1} (x) {tan}^{1} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

sec (x) tan (x) - \int {tan (x)}^{1 + 1} sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{2} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب

{tan}^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ و

sec (x)

$\sec (x)$ .

sec (x) tan (x) - \int sec (x) {tan}^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

sec (x) tan (x) - \int sec (x) {tan}^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

خطوة 7

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة

{tan}^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح

- 1 + {sec}^{2} (x)

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

sec (x) tan (x) - \int sec (x) (- 1 + {sec}^{2} (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 8

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

sec (x) tan (x) - \int sec (x) (- 1 + sec (x) sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

sec (x) tan (x) - \int sec (x) \cdot - 1 + sec (x) (sec (x) sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 8.3

أعِد ترتيب

sec (x)

$\sec (x)$ و

- 1

$- 1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 \cdot sec (x) + sec (x) (sec (x) sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

sec (x) tan (x) - \int - 1 \cdot sec (x) + sec (x) (sec (x) sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 9

ارفع

sec (x)

$\sec (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec}^{1} (x) sec (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

خطوة 10

ارفع

sec (x)

$\sec (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec}^{1} (x) {sec}^{1} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

خطوة 11

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec (x)}^{1 + 1} sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

خطوة 12

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec}^{2} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

خطوة 13

ارفع

sec (x)

$\sec (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec}^{2} (x) {sec}^{1} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

خطوة 14

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec (x)}^{2 + 1} d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

خطوة 15

أضف

2

$2$ و

1

$1$ .

sec (x) tan (x) - \int - 1 sec (x) + {sec}^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

خطوة 16

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

sec (x) tan (x) - (\int - 1 sec (x) d x + \int {sec}^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 17

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

sec (x) tan (x) - (- \int sec (x) d x + \int {sec}^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 18

تكامل

sec (x)

$\sec (x)$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

sec (x) tan (x) - (- (ln (| sec (x) + tan (x) |) + C) + \int {sec}^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 19

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

طبّق خاصية التوزيع.

sec (x) tan (x) - - (ln (| sec (x) + tan (x) |) + C) - \int {sec}^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 19.2

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 20

بإيجاد قيمة

$\int \sec^{3} (x) d x$ ، وجدنا أن

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

خطوة 21

اضرب

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ في

$1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

خطوة 22

بسّط.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$