حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

انقُل $2$ إلى يسار $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.12

انقُل $2$ إلى يسار $1 + x^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $- 2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

أضف $2 x + 2 x$ و $0$ .

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

خطوة 3.7.4

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$