حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y}{y - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب المعادلة في $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $(y - 1) (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y x - x = y$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y x - x - y = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y x - y = x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - y = x$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

خطوة 5.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

خطوة 5.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.4

أعِد كتابة $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.2.4.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

خطوة 5.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 5.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 5.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

خطوة 5.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد كتابة $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

خطوة 5.3.4.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 5.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 5.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$