حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} (20 - x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = 20 - x$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [20 - x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $20$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة $- 1 x^{\frac{2}{3}}$ بالصيغة $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

خطوة 8

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 9

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{\frac{2}{3}} + 20 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $20$ و $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{20 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $20$ في $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.3

اجمع $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $x$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.4

انقُل $x^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.2.5

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.1

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3}$

خطوة 10.2.5.2

اضرب $x^{- \frac{1}{3}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3}$

خطوة 10.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3}$

خطوة 10.2.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3}$

خطوة 10.2.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3}$

خطوة 10.2.5.5

أضف $- 1$ و $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 10.2.6

لكتابة $- x^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.7

اجمع $- x^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.10

اطرح $2 x^{\frac{2}{3}}$ من $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$