حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ و $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 7 x$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 7 x$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 3.3.2

انقُل $- 7$ إلى يسار $(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 10 x + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $5$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.8

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.10

اضرب $- 10$ في $1$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 3.11

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + 0)$

خطوة 3.12

أضف $10 x - 10$ و $0$ .

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 7 (5 x^{2}) - 7 (- 10 x) - 7 \cdot 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

خطوة 4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $5$ في $- 7$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

خطوة 4.4.2

اضرب $- 10$ في $- 7$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

خطوة 4.4.3

اضرب $- 7$ في $10$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

خطوة 4.4.4

انقُل $- 10$ إلى يسار $e^{- 7 x}$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) - 10 \cdot e^{- 7 x}$

خطوة 4.4.5

أضف $70 x e^{- 7 x}$ و $e^{- 7 x} (10 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.5.1

انقُل $e^{- 7 x}$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} + 10 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

خطوة 4.4.5.2

أضف $70 x e^{- 7 x}$ و $10 x e^{- 7 x}$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

خطوة 4.4.6

اطرح $10 e^{- 7 x}$ من $- 70 e^{- 7 x}$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب العوامل في $- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$ .

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$