حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (3 x - 2 x^{2}) (5 + 4 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ و $g (x) = 5 + 4 x$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 + 4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.5

انقُل $4$ إلى يسار $3 x - 2 x^{2}$ .

$4 \cdot (3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) \cdot 1 + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.7

اضرب $4$ في $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

خطوة 2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

خطوة 2.11

اضرب $3$ في $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

خطوة 2.12

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 (2 x))$

خطوة 2.14

اضرب $2$ في $- 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5.3

اضرب $5$ في $3$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5.4

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5.5

اضرب $- 4$ في $5$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x + 4 x (- 4 x)$

خطوة 3.5.6

اضرب $- 4$ في $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x \cdot x$

خطوة 3.5.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x)$

خطوة 3.5.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x^{1})$

خطوة 3.5.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{1 + 1}$

خطوة 3.5.10

أضف $1$ و $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{2}$

خطوة 3.5.11

اطرح $20 x$ من $12 x$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 - 8 x - 16 x^{2}$

خطوة 3.5.12

اطرح $8 x$ من $12 x$ .

$4 x - 8 x^{2} + 15 - 16 x^{2}$

خطوة 3.5.13

اطرح $16 x^{2}$ من $- 8 x^{2}$ .

$4 x - 24 x^{2} + 15$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- 24 x^{2} + 4 x + 15$