حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \arctan (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\arctan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (5 x)$ .

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 (x)$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ و $2$ .

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ و $\arctan (5 x)$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $5$ و $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ في $1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$