حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{x + 3}{2 x}$ في $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x + 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

خطوة 3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $2$ و $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $x + 3$ في $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.4

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.5

اضرب $\frac{x + 3}{x}$ في $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.6

انقُل $3$ إلى يسار $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.7

احذِف العامل المشترك لـ $x + 3$ و ${(x + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.7.1

أخرِج العامل $x + 3$ من $3 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

خطوة 5.6.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.7.2.1

أخرِج العامل $x + 3$ من $x {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

خطوة 5.6.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

خطوة 5.6.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{x (x + 3)}$