حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (e^{x} + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{1}{e^{x} + 1}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$