حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{6 + x}{6 - x}$ في $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 6 - x$ و $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة $- 1 (6 + x)$ بالصيغة $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

خطوة 5.11.2

اضرب $\frac{6 + x}{6 - x}$ في $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

خطوة 6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $6 + x$ من $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.1.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 6 - x - 6 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.2.2

أضف $- 6$ و $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.3.3

اطرح $6$ من $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

خطوة 7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$