حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x^{4} + 2)}^{2}$ و $g (x) = {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{4}] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{3} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{4} + 2)}^{2}$ .

$4 \cdot {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + 0) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2}) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 3.5.2

اضرب $3$ في $4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{4} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 \cdot {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 5.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + 0)$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3})$

خطوة 5.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ من $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ من $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ من $8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ من $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب عوامل $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x) (x^{4} + 2)$