حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x + 3)$ و $g (x) = x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{x + 3}$ و $x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + 0) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \cdot 1 - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{x^{2}}{x + 3}$ في $1$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 6

اضرب $\frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$2 (\frac{x + 3}{x + 3} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع.

$2 \frac{(x + 3) (\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) (2 x))}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 9.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$ .

$\frac{2 (x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

بسّط $- 2 \ln (x + 3)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 (x (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.4

اضرب $3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 (\ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.4.2

أعِد ترتيب $\ln ({(x + 3)}^{2})$ و $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.4.3

بسّط $- 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.5.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.5.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.5.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 3)}^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.5.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.7

اضرب $2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.7.2

بسّط $- 2 \ln ({(x + 3)}^{2})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.8

اضرب $2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 (\ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.8.2

أعِد ترتيب $\ln ({(x + 3)}^{6})$ و $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.8.3

بسّط $- 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.9.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.9.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.9.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.9.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 3)}^{6})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.9.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{6 \cdot 2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.1.9.3.2

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.4

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1} x^{4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1 + 4} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.4.2

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.5

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x) - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4})$ .

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.5.3

أخرِج العامل $x$ من $- x \ln ({(x + 3)}^{12})$ .

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.5.4

أخرِج العامل $x$ من $x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4}))$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.5.5

أخرِج العامل $x$ من $x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 10.6

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} + 3 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

خطوة 10.6.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $3 x^{4}$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 10.6.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 10.7

وسّع $\ln ({(x + 3)}^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 10.8

وسّع $\ln ({(x + 3)}^{12})$ بنقل $12$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 10.9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

خطوة 10.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

خطوة 10.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 1 \cdot 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x \ln (x + 3)$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 12 \ln (x + 3)$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3))$ .

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

خطوة 10.10.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))$ .

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3) - 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$