حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2}}{x + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2}$ و $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5 x^{2}] - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 (2 x)) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x + 2) (6 x^{2} - 10 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (6 x^{2} - 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{1}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 x^{2 + 1} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{6 x^{3} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{3} - 10 x \cdot x + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 (x \cdot x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.6

اضرب $- 10$ في $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

أضف $- 10 x^{2}$ و $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $2 x^{3}$ من $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $2 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $- 20 x$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x (4 x^{2}) + x (7 x)$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أخرِج العامل $x$ من $x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x - 20)}{{(x + 2)}^{2}}$