حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ بالصيغة $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $24 x^{2} + 8$ بالصيغة $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $8$ من $24 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

خطوة 1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ في صورة ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 8.3

انقُل ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 12

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 13

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

خطوة 14.2

اجمع $6$ و $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

خطوة 14.3

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

خطوة 14.4

اجمع $\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 14.5

أخرِج العامل $3$ من $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$