حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{3} x^{3})$

خطوة 1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{3}}{3})] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x - \frac{x^{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}}$ و $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.4

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} (3 x^{2})) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3}{3} x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.3

اجمع $\frac{- 3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3 x^{2}}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- x^{2}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.6.4.2.4

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) (4 x^{3})$

خطوة 4.8

أعِد ترتيب الحدود.

$(1 - x^{2}) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$