حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.4

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 2.5.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

خطوة 3.4

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 3}{3}$ و $x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

خطوة 3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

خطوة 3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x^{2}}{1}$

خطوة 3.6.2.4

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x^{2}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$