حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$ في صورة ${(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + 2 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

خطوة 7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$

خطوة 7.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

خطوة 7.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 7.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 7.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $e^{3 x}$ و $\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 9.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.3

اجمع $3$ و $\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 9.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اضرب $\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 e^{3 x}}{{(2 e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$