حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\ln (x)}{4 x + 7}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 4 x + 7$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + 0)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 4}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 + \frac{7}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

بسّط $- 4 \ln (x)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اجمع.

$\frac{x (4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \cdot 4 + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{4 x + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x \ln (x^{4}) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \ln (x^{4})$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4})) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $4 x$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $7$ بالصيغة $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ بالصيغة $- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x \ln (x^{4}) - 4 x - 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$